Методика преподавания математики


Разработчик:
к.п.н.,  доцент кафедры дидактики и частных методик
Грекова С.В.

 

Тема № 1: Математические упражнения и задачи как основные компоненты методической системы обучения математике.

Лекция №1 ( 2 часа)

Цель: актуализировать знания об основных принципах построения системы упражнений и задач на уроке математики в условиях модернизации российского образования.

План:

  1. Система упражнений и задач к уроку математики.
  2. Требования, предъявляемые к системе упражнений и задач по математике:

    2.1. Однотипности.
    2.2. Непрерывного повторения.
    2.3. Наличия контрпримера.
    2.4. Полноты.
    2.5. Сравнения.

   Под системой упражнений и задач будем понимать совокупность математических упражнений и задач, каждый компонент которой необходим, а все вместе они достаточны для сформированности у учащегося умения решать задачи того или иного вида.

К системе упражнений и задач предъявляют следующие требования:

  1. однотипности;
  2. непрерывного повторения;
  3. наличия контрпримера;
  4. полноты;
  5. сравнения.

1. Принцип однотипности.

Совокупность упражнений одного и того же типа называют однотипной системой упражнений.  Для формирования прочных навыков в решении того или иного типа задач однотипные упражнения необходимы. В то же время они приводят к механическому, неосознанному решению, к ошибкам. Из-за этого диалектического противоречия наблюдаются противоположные методические подходы относительно реализации принципа однотипности упражнений. Чтобы обеспечить на уроках устойчивое внимание всех учащихся и сформировать у них прочные умения и навыки, необходимо непременно сохранить однотипность системы упражнений, а для нейтрализации её отрицательных последствий одновременно использовать другие принципы.

2. Принцип непрерывного повторения.

В однотипную систему упражнений по новой теме с первого момента её изучения нужно включать задачи из предшествующих разделов.  Цель их включения – устранение отрицательного влияния однотипности системы упражнений и осуществление систематического, непрерывного повторения изученного материала.
В такой системе упражнений упражнения одного типа группируются подряд по два-три, изредка  - по четыре.
При реализации принципа непрерывного повторения нужно учитывать следующие условия:
а) последовательность упражнений в системе определяется не столько автором задачника, сколько учителем;
б) большинство задач в системе должно быть по новой теме;
в) из пройденных тем желательно подбирать такие упражнения, которые по отдельным внешним признакам сходны с упражнениями новой темы.

3. Принцип наличия контрпримера.

Контрпримером, исходя из дидактических соображений, называют любую задачу, которая помогает выявить, а значит, и устранить имеющиеся у учащихся ошибочные ассоциации. Отношение одной и той же задачи к контрпримеру или нет является относительным.  В роли контрпримеров могут выступать задачи с неполными или противоречивыми условиями и любые другие упражнения, провоцирующие учащихся на ошибку. На основе контрпримеров можно создавать на уроках игровые ситуации: мы именно провоцируем, а учащиеся догадываются, что это своего рода игра.
При включении контрпримера в систему упражнений и задач нужно учитывать, что:
а) контрпримеры решаются в классе под наблюдением учителя;
б) ошибки сразу анализируются;
в) нежелательно включать контрпримеры в домашнее задание;
г) контпримеры используются не сами по себе – они лишь изредка включаются в систему упражнений.

4. Принцип полноты.

Система упражнений и задач называется полной, если совокупность её задач и способы их решения не способствуют формированию ошибочных ассоциаций и позволяют учащимся глубоко усваивать все необходимые вопросы изучаемой темы. Часто принцип полноты нарушается из-за медленного темпа работы на уроке  или при сокращении числа часов.
Основой для реализации принципа полноты в системе упражнений и задач является  их типизация(классификация).

5.Принцип сравнения.

Под принципом сравнения понимают чередование упражнений на прямые и обратные операции и любых других задач, когда желательно показать их взаимосвязь, сходство и различия.
Принцип сравнения удобно использовать при одновременном изучении некоторых тем: сложение и вычитания дробей, умножение и деления чисел с разными знаками, решения задач на нахождение дроби от числа и числа по величине его дроби и т.д. Однако принцип сравнения не является всеобщим: существуют темы, для которых применение принципа сравнения не целесообразно.
Все перечисленные принципы построения системы упражнений и задач помогают усиливать глубину понимания изучаемого материала и воспитывать учащихся как интеллектуально развивающихся личностей.

Практическое занятие (2часа).

Математические упражнения

Задание 1: проанализируйте систему упражнений и задач к теме разрабатываемого урока по учебнику на предмет соответствия её сформулированным принципам. Охарактеризуйте выполнимость каждого из них.

Задание 2: типизируйте систему упражнений и задач к теме разрабатываемого урока с точки зрения предметных и универсальных учебных действий.

Задание 3: разработайте свою систему упражнений и задач по теме разрабатываемого урока, удовлетворяющую сформулированным принципам.

Литература:

  1. Грудёнов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике/ Я.И.Грудёнов.-М.:Педагогика, 1987.
  2. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике/Г.И.Саранцев.- М.:Просвещение, 1995.
  3. Беспалько В.П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения.-М.:Педагогика, 1995.
  4. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии.-М.: Народное образование, 1998.
  5. Якиманская И.С. Технология личностно-ориентированного образования.-М.: Сентябрь,2000.
  6. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/ Под научн. Ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.:Дрофа, 2005.  

Тема № 2:Методика работы с теоремой на уроке математики с точки зрения их логической структуры.

Лекция № 2 (2 часа).

Цель: актуализация знаний по логико-математическому анализу теоремы и разработке технологических схем работы на уроке с ней.

ПЛАН:

  1. Логическая структура теоремы.
  2. Примеры теорем и их логико-математический анализ.

 Теоретической основой логической грамотности учителя математики является математическая логика. С точки зрения математической логики теорема является высказыванием следующего вида: "хIМ, А(х)®В(х), где М – некоторое множество элементов, относительно которых сформулирована теорема. В самом общем виде практически любая теорема носит, говорят, импликативную структуру. В связи с чем, во многих учебных пособиях по методике преподавания математики структуру теоремы указывают в виде: А®В.

Заметно, что в этом случае упущен один из принципиально важных для понимания сути теоремы компонентов её логической структуры – множество М, называемое разъяснительной частью теоремы. Именно введение в структуру теоремы этого множества позволяет проследить путь её образования.

Изначально рассматриваются некоторые элементы множества М, про которые замечается наличие у них некоторого свойства А, при чём, если рассматривать все объекты множества М, то зафиксированным свойством А объект может как обладать, так и не обладать. В связи с чем, можно говорить о задании на множестве М предиката А(х).

ПРИМЕР. Рассмотрим множество всех треугольников. Некоторые из ни имеют только две равные стороны. Такие треугольники в геометрии имеют особое название – равнобедренные треугольники. Таким образом, можно говорить о предикате А(х): «треугольник х – равнобедренный», где х – элемент множества всех треугольников.

Аналогично замечается, что некоторые из элементов множества М обладают свойством В, тогда можно говорить о предикате, заданном на множестве М – В(х).

Вообще говоря, отношения между множеством элементов, обладающих свойством А, и множеством элементов, обладающих свойством В, может быть различно. Принципиально важными являются случаи, когда эти множества не имеют общих элементов, и, когда они совпадают. В первом случае, правда, можно констатировать, что данные множества не пересекаются, а, следовательно, и сочетание свойств А и В в одном объекте х множества М – невозможно. Во втором случае, например, замечается, что как только элемент множества М стал обладать свойством А, так он сразу же стал обладать и свойством В. Этот факт, как правило и фиксируется в теореме.

ПРИМЕР. Было замечено, что как только треугольник стал обладать двумя равными сторонами, так в нем сразу же всегда найдутся два равных угла, прилегающих к этим сторонам. Этот факт и фиксируется в теореме: «В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны», акцентируя внимание на том, что такое происходит со всяким равнобедренным треугольником.

Таким образом, отбрасывание в логической структуре теоремы её разъяснительной части мы лишаем, так сказать, теорему истории. Не даём возможности ни учителю, а тем более ученику глубже понять её и изучить.

Однако, выделение этой разъяснительной части по уже имеющейся формулировке теоремы порой представляет непростую задачу даже для опытного учителя. Рассмотрим несколько примеров.

ТЕОРЕМА 1: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Часто допускается ошибка: говорят, что разъяснительной частью этой теоремы является множество равнобедренных треугольников. В этом случае происходит смешение в объекте его родовидовых отличий. Разъяснительной частью этой теоремы является множество произвольных треугольников. Теорема трактуется так: как только в треугольнике нашлись две равные стороны, так в нём сразу же обнаружатся и два равных угла.

ТЕОРЕМА 2:
«Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине».

Разъяснительной частью этой теоремы является множество отрезков. Однако такой ответ нарушает существующее общее правило, принятое в теории методики преподавания математики при переходе от рода объекта к его виду. Имеется в виду договорённость о том, что от рода объекта, например, при классификации какого-либо математического понятия, переходить к ближайшему его виду; и, наоборот, от вида, например, при формулировании родовидового определения понятия, переходить к ближайшему роду. В нашем же случае, множество произвольных отрезков как род не является ближайшим к множеству средних линий отрезка как вид. Правильный ответ подсказывает формулировка теоремы. Разъяснительной частью здесь является множество отрезков с концами на двух данных сторонах треугольника. Теорему можно трактовать так: как только отрезок, с концами на двух данных сторонах треугольника стал его средней линией, так он сразу же стал параллелен третьей стороне и равен её половине.

В этих теоремах разъяснительная часть состояла из моносоставных элементов: множество треугольников, множество отрезков. При этом структура самого объекта во внимание не принималась. К тому же можно заметить, и даже особо подчеркнуть, что предикаты А(х) и В(х) являются заданными на одном и том же множестве М. Например, для теоремы об углах в равнобедренном треугольнике предикаты: А(х): « треугольник х – равнобедренный», В(х): «треугольник х – имеет два равных угла»

заданы на одном и том же множестве М – множестве произвольных треугольников. С этой точки зрения, формулировка теоремы говорит о том, что, если предикат А(х) принял значение «истинно» для некоторого треугольника, то для этого же треугольника предикат В(х) так же примет значение «истинно». И этот факт будет иметь место для любого треугольника.

Теорема 3: «Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны» (Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие 7-11классов сред. шк. -М.:Просвещение, 1990.)

Для выяснения разъяснительной части этой теоремы нужно вспомнить условия образования накрест лежащих углов: берутся две прямые (a и b) и пересекаются третьей прямой (с), называемой секущей (рис.1).

 

Углы, например, 1 и 2 будут внутренними накрест лежащими. Формулировка теоремы и её разъяснительная часть при первом рассмотрении вызывает недоумение: в условии теоремы говориться об углах, в заключении - о прямых. Возникает вопрос: неужели возможно, что предикат-условие теоремы задаётся на одном множестве, а предикат-заключение – на другом. Конечно, нет. Всё становится ясным, если допустить, что множество М может состоять из элементов различной структуры, в том числе и такой, как в этой теореме. Разъяснительная часть этой теоремы состоит из конструкций, в состав которых входят две прямые и пересекающая их третья прямая, а также внутренние накрест лежащие углы, расположенные при точках пересечений этих прямых. Обозначим прямые, которые пересекаются третьей прямой, х и y, а внутренние накрест лежащие углы за 1 и 2. Таким образом, можно говорить, что множество М состоит из элементов вида (х, y, 1, 2). То есть является элементом некоторого 4-х мерного пространства. В этом случае теорема трактуется так: как только в этой конструкции прямых и углов, углы стали равными, так сразу же в той же самой конструкции прямые стали параллельны. И так выполняется для любых прямых и углов в данной конструкции. Предикаты А(х) и В(х) в этом случае могут быть заданы следующим образом: А(х, у, 1, 2): «углы 1 и 2 равны», В(х, у, 1, ): «прямые х и у параллельны».

С этой точки зрения более удачной можно признать формулировку соответствующей теоремы в учебнике геометрии Л.С.Атанасяна (Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-5-е изд.-М.:Просвещение,1995.): «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны», которая более раскрывает смысл факта, сформулированного в теореме.

Знание разъяснительной части теоремы заметно облегчает формулирование теоремы, обратной к данной. Классической ошибкой при формулировании теоремы, обратной к теореме о свойстве равнобедренного треугольника является формулировка: «Если углы в треугольнике при основании равны, то такой треугольник равнобедренный». Часто забывают о том, что множество объектов, относительно которых сформулирована теорема одно и то же и для предиката-условия, и для предиката-заключения. И в процессе истории возникновения формулировке теоремы, обратной к данной, так же как и в прямой теореме, рассматриваются, вообще говоря, произвольные треугольники, у которых не выделено основание. Основание в треугольнике рассматривается только у равнобедренных. Следовательно, говорить об углах при основании произвольного треугольника, вообще говоря, некорректно. Учитывая содержательный аспект формулирования обратной теоремы к теореме о свойстве равнобедренного треугольника, и общее строение теоремы В®А, обратной к данной А®В, получим следующую формулировку: если в треугольнике найдутся два равных угла, то этот треугольник будет равнобедренным, а прилегающие к этим углам стороны – равными; или «если в треугольнике какие - либо два угла равны, то треугольник равнобедренный».

Практическое занятие №2 (2 часа).

Цель: актуализация знаний по логико-математическому анализу теоремы и разработке технологических схем работы на уроке с ней.

В социальную сферу термин «технология» пришёл из производственных процессов, где обозначал алгоритм создания того или иного изделия с заданными параметрами. С философской же точки зрения «технология» означает наилучшую деятельность любого вида в конкретных условиях. Педагогическая наука и методика вносит свои коррективы в толкование данного термина.

В отечественной методике термин «технология» является относительно новым. В зарубежном же преподавании он стал активно употребляться уже в 50-х гг. ХХ столетия, обозначая направление, которое ставило целью повышение эффективности учебного процесса и гарантию достижения учащимися запланированных результатов обучения. Приход «технологии» в педагогику и методику был связан, прежде всего, с желанием педагогов сделать процесс усвоения учащимися знаний управляемым.

Первой попыткой создания такой целостной методики, с помощью которой можно управлять процессом обучения и усвоения знаний учащимися, было возникновение в 70-х гг. прошлого века в США, а затем и в Западной Европе, программированного обучения как педагогического метода.

Программированное обучение получило широкое распространение и в нашей стране. Однако постепенно интерес к программированному обучению упал из-за невозможности решить с его помощью вопросы, связанные с различиями в способностях учащихся, в уровне их подготовленности, в сформированности учебных действий.

Современная педагогическая наука оперирует следующими понятиями: педагогическая технология, образовательная технология, технология обучения, частнопредметная технология, локальная технология, которые рассматриваются в рамках общего технологического подхода, заключающегося в построении и осуществлении оптимальной педагогической деятельности, результат которой должен максимально соответствовать поставленной цели.

Современное понимание этих терминов существенно отличается от соответсвующих терминов, употребляемых в прошлом веке в педагогической науке. 

Обучение математике, имея свои характерные особенности, которые связаны со спецификой математического содержания, является частью общего процесса обучения, но и говоря о технологиях обучения математике, нельзя говорить об этом изолированно от построения всего процесса обучения в целом.

В общем виде требования к технологии обучения, и технологии обучения математике в частности, можно считать следующие:

1. В основе построения любой технологии обучения должны лежать результаты научных исследований, связанных с осуществлением процесса обучения конкретному предмету.
2. Любая технология должна представлять собой подробно описанную последовательность шагов.
3. Каждый шаг в последовательности обязательно сопровождается проведением диагностики, сравнения с предполагаемыми результатами и коррекции дальнейших мер.
4. Любая технология обучения должна предусматривать наличие обратной связи между учениками и учителем.
5. Любая технология обучения гарантирует достижение определённого для данной технологии результата.
6. Любая технология воспроизводима любым учителем в соответствующих условиях с гарантией достижения результата.

Самыми существенными отличиями технологии от методики являются требования гарантированности достижения результата и воспроизводимости её любым учителем с сохранением достигаемого результата.

В соответствии с этими требованиями выделяют критерии технологичности осуществляемого процесса обучении и процесса обучения математике в частности:

- диагностично заданная цель и способы диагностики её достижения;
- представление учебного материала в системы познавательных и практических задач с ориентирами и способами их решения;
- достаточно жёсткая логика этапов усвоения учебного материала;
- адекватная система способов взаимодействия на каждом этапе участников учебного процесса друг с другом и с информационной техникой;
- указание границ допустимого отступления от целесообразной и от свободной творческой деятельности учителя;
- применение в учебном процессе новейших средств и способов предоставления информации.

Отмечается, что наиболее важный этап при разработке любой технологии – это определение системы целей, которая должна быть диагностична. Для диагностируемости целей нужно осуществить переход от цели обучения, выраженной в общих терминах, к той цели обучения, достижение которой можно проверить. Заметим, что к целям, которые отражают развитие личности ребёнка в процессе обучения математике, нужно подходить очень осторожно. В этом случае, говорить о технологии, вероятно, уже нельзя.

Реализация технологического подхода в обучении требует от учителя качественно иной подготовки к проведению урока и к осуществлению всего процесса обучения учащихся математике. Учитель становится не только исполнителем разработанных локальных технологических сценариев обучения, но и сам может выступить в роли разработчика частнопредметных и локальных технологий. Такая роль учителя предполагает переосмысление всей его профессиональной деятельности и выхода её на качественно иной уровень - уровень профессиональной компетентности.

Важным в свете требований, предъявляемых к технологичности процесса обучения, является активизация следующих направлений саморазвития педагога как профессионала:

  1. Усиление теоретической подготовки учителя математики в области  педагогики и особенно психологии обучения математики.         
  2. Повышение алгоритмической культуры учителя математики.
  3. Формирование методологической компетенции учителя математики в области целеполагания, организации, проведения и обработки результатов педагогического эксперимента.
  4. Активизировать деятельность по обмену опытом между учителями математики.
  5. Усилить конкретность деятельности учителя как с точки зрения организации процесса обучения математики, так и сточки зрения диагностируемости результатов этой деятельности.

При разработке технологических схем работы с математическими утверждениями большое внимание должно уделяться мотивационному компоненту, а также поиску доказательства и обоснованности получаемых в процессе доказательства выводов.

ПРИМЕР: Исследовательский проект как форма реализации технологического подхода к обучению математике.

Главная цель данной технологии исследовательского обучения – активизировать обучение, придав ему исследовательский, творческий  характер, передать инициативу учащимся в познавательной деятельности. Самостоятельная исследовательская работа учащихся является важнейшим фактором развития творческих способностей. «В исследовательском методе знание не дается как готовое, а получается в результате работы самих детей над тем или иным жизненным материалом» (Б.В.Всесвятский). Известный специалист в области исследовательского обучения Дж. Брунер подчеркивал: «Умственная деятельность ученого, сделавшего эпохальное открытие, и умственная деятельность ребенка, познающего новое, идентичны по своей внутренней «механике»».

В педагогике выделяется три уровня реализации исследовательского обучения:

  • преподаватель ставит проблему и намечает стратегию и тактику ее решения, само решение предстоит самостоятельно найти учащемуся;
  • преподаватель ставит проблему, но метод ее решения ученик ищет самостоятельно (допускается коллективный поиск);
  • постановка проблемы, поиск методов ее исследования и разработка решения осуществляется учащимися самостоятельно.

Рассмотрим одну из наиболее актуальных технологий обучения, применяющихся на уроке математике – исследовательский проект.

Исследовательские проекты, выполняемые самими учащимися, могут различаться по продукту деятельности:

  1. проект – получение новых знаний о некотором объекте;
  2. проект – обобщение и систематизация уже имеющихся знаний;
  3. проект – открытие новых понятий;
  4. проект – открытие новых теорем.

Исследовательский проект может быть разработан учителем математики по следующей схеме:

- цель проекта (формулирование вопроса исследования);
- объект и предмет исследования;
- оборудование;
- план исследования (наблюдений, эксперимента);
- план обсуждения результатов исследования;
- формулирование вывода;
- презентация итогов проекта.

«Исследовательский проект «Взаимно простые числа».

Цель - сформулировать и усвоить понятие взаимно простых чисел.

Объект исследования: натуральные числа.

Предмет исследования: пары натуральных чисел и их НОД.

Оборудование: учитель заранее готовит для учащихся карточки, на которых заданы пары натуральных чисел. Среди них есть пары чисел, имеющие НОД, равный 1.

План исследования: учитель предлагает учащимся найти НОД каждой пары чисел.

План обсуждения результатов исследования: учитель предлагает учащимся, после проверки нахождения всех НОД ответить на следующие вопросы:

* на какие две группы можно разбить все пары чисел в зависимости от величины НОД этих чисел?

* чему равен НОД чисел в каждой группе?

* какая группа имеет НОД равный для всех пар чисел?

* чему он равен?

Формулирование вывода: учитель говорит, что такие пары чисел называют взаимно простыми и просит учащихся самостоятельно сформулировать определение этих пар чисел (при необходимости учитель корректирует определение учащихся).

Презентация итогов проекта: можно вывесить плакат с определением взаимно простых чисел или предложить учащимся самим изобразить в виде схемы или таблицы сущность определения взаимно простых чисел.»

Задание: выберите из школьного курса математики какие-либо теоремы и проведите их логико-математический анализ. На основе логико-математического анализа теоремы разработайте технологическую схему её открытия.

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Фридман Л.М.Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд.2-е, исп. И доп.-М.:Едиториал УРСС, 2005.
  2. Хинчин А.Я. Педагогические статьи.-М: 1963.
  3. Столяр А.А. Педагогика математики /А.А.Столяр. – Минск, Издательство «Вышейшая школа»,1968
  4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики/Под ред. Е.И.Лященко.-М.: Просвещение, 1988.

 

 

к выбору модуля